Александр Яковлевич Фисун окончил Военно-медицинскую академию имени С.М. Кирова.
Служил на Балтийском флоте врачом-специалистом, начальником поликлиники учебного центра Военно-Морского флота.
В 1988-1993 гг. был ординатором, старшим ординатором кардиологического отделения в Главном военном клиническом госпитале имени Н.Н. Бурденко.
В 1993 г. назначен начальником кардиологического отделения военно-морского клинического госпиталя Тихоокеанского флота, а три года спустя - главным терапевтом Тихоокеанского флота.
В 1998-2004 гг. являлся консультантом-терапевтом, ведущим терапевтом филиала, заместителем главного терапевта Центрального военного клинического госпиталя имени П.В. Мандрыки.
В 2004-2006 гг. возглавлял медицинскую службу ВМФ России.
В 2006 г. стал начальником лечебно-профилактического управления Главного военно-медицинского управления (ГВМУ) Министерства обороны РФ.
В 2009 г. временно исполнял обязанности начальника главного военно-медицинского управления Минобороны РФ. После подачи рапорта об отставке являлся заместителем директора ФГУ "Всероссийский центр медицины катастроф "Защита".
В январе 2013 г. вновь стал исполняющим обязанности начальника главного военно-медицинского управления Минобороны РФ. Спустя месяц был официально назначен на эту должность.
Воинское звание - генерал-майор медицинской службы.
Доктор медицинских наук, профессор.
Заслуженный врач РФ.