Борис Михайлович Мурашов родился 2 марта 1957 года в городе Рига (Латвийская ССР).
В 1974-1975 гг. работал учеником монтажника в рижском тресте Мостострой № 5, затем поступил в Московский институт инженеров железнодорожного транспорта.
В 1980 г., после окончания вуза был направлен на прежнее место работы, где до 1985 г. трудился в должностях мастера и прораба. Строил объекты в Риге, Таллине, Новом Уренгое, Коротчаево.
В 1985 г. назначен директором РПБ треста Мостострой № 5 и стал самым молодым директором предприятия системы Минтрансстроя СССР. Возглавлял ремонтно-механический завод в Риге, а с 1990 г. – Крустнинский завод мостовых железобетонных конструкций.
В 1990 г. создал самостоятельную строительную компанию "АДМ", выполнявшую работы в Латвии, Туркмении, Австрии. Занимался монолитным строительством. С 1995 г. компания строила монолитные мосты на Московской кольцевой автодороге.
В 1997 году в Мадриде "АДМ" получила международную премию за строительство бизнес-центра в г. Айзенштадт (Австрия). В том же году Б. Мурашов возглавил спецпредприятие по строительству монолитных искусственных сооружений "Трансмонолит".
В 1999-2001 гг. являлся первым вице-президентом корпорации "Трансстрой".
В 2001-2005 гг. работал первым заместителем руководителя Государственного учреждения "Дирекция по строительству транспортного обхода города Санкт-Петербург", затем до 2006 г. исполнял обязанности его генерального директора.
С 2006 г. - генеральный директор государственного учреждения "Дирекция по строительству транспортного обхода города Санкт-Петербург Федерального дорожного агентства".
С 2009 г. возглавлял комитет по благоустройству и дорожному хозяйству Санкт-Петербурга.
В 2010 г. назначен на должность председателя городского комитета по развитию транспортной инфраструктуры, в его ведении находятся строительство, ремонт и содержание дорог.
В ноябре 2012 года отправлен в отставку по собственному желанию.
В декабре 2012 года назначен помощником Министра регионального развития РФ.
В 2013 году начал работать в должности заместителя главы Федерального агентства по строительству и жилищно-коммунальному хозяйству Госстроя.
С ноября 2013 года - заместитель генерального директора "Группы ЛСР".
Почётный работник транспорта России. Заслуженный строитель России.