Александр Иванович Вислый родился 27 апреля 1958 года в Курской области. В 1980 году закончил механико-математический факультет МГУ и затем аспирантуру, в 1984 году стал кандидатом физико-математических наук.
Работал в Институте механики МГУ, занимался темами, связанными с движением космических тел. Был приглашен в Научную библиотеку МГУ для решения задач по автоматизации и компьютеризации библиотечных процессов. Вислый - один из авторов Русского формата МАRС, созданного для перевода информации с бумажных носителей в электронный вид. Успешная реализация планов по компьютеризации Научной библиотеки МГУ привлекла внимание руководителей вузов и других организаций. Александр Вислый был назначен заместителем директора Научной библиотеки МГУ, а затем возглавил информационный отдел "Роснефти".
В 1998 году пришел на работу в Российскую государственную библиотеку. Сначала был помощником директора по автоматизации, затем - заведующим Центром информационных технологий, с 2001 по 2009 год - заместителем генерального директора, директором по информатизации, а в октябре 2009 года назначен генеральным директором РГБ.
С 1999 по 2001 год, не оставляя работу в Российской государственной библиотеке, занимал должность начальника ГИВЦ Министерства культуры РФ.